\documentclass[a4paper, 12pt,TimesNewRoman]{article}
\usepackage[14pt]{extsizes}
\usepackage{cmap}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[left=2cm,right=2cm,
top=2cm,bottom=2cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{{./huina/}}
\usepackage {subcaption}
\usepackage{parskip}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{float}
\usepackage[unicode, pdftex]{hyperref}
\author{Забродин Денис Александрович}
\title{\textbf{Вектора}}

\begin{document}
	\maketitle
	\tableofcontents\newpage
	\section{Координаты запись линейных действий над векторами}
		Пусть задана некоторая декартова система координат и векторы $\vec{a}$ = ($x_1, y_1, z_1$) и $\vec{b}$ = ($x_2, y_2, z_2$)
		
		Тогда $\vec{a}$ + $\vec{b}$ = ($x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2$)
		
		$\lambda \vec{a}$ = ($\lambda x_1; \lambda y_1; \lambda z_1$)
		
		\textbf{Доказательство}:
		
		Пусть $\vec{a}$ + $\vec{b}$ = $\vec{c}$ = ($x_3;y_3;z_3$)
		
		$x_3$ = пр$_{ox}(\vec{a} + \vec b)$ = пр$_{ox} \vec{a}$ + пр$_{ox} \vec{b}$ = $x_1 + x_2$
	
		Аналогично $y_3 = y_1 + y_2; z_3 = z_1 + z_2$
		
	\section{Координаты точки в пространстве}
		\textbf{Определение}: Координаты точки М в декартовой системе координат называются координаты ее радиус-вектора $\vec{r_M}$
		
		\begin{figure}[H]
			\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina1}}
		\end{figure}
		
		$M(x;y;z) \Rightarrow \vec{r_M} = (x;y;z)$
		
		$\vec{MM_1} = \vec{r_{M_1}} - \vec{r_M} = (x_1 - x; y_1 - y; z_1 - z)$
		
		$MM_1 = |\vec{MM_1}| = \sqrt{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2 + (z_1 - z)^2}$
		
		\subsection{Деление отрезка в данном отношении}
		
			\begin{figure}[H]
				\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina5}}
			\end{figure}
		
			Пусть задано, что $\vec{M_1M} = \lambda \vec{MM_2}$
			
			$\vec{M_1M} = \vec{r} - \vec{r_1}; \vec{MM_2} = \vec{r_2} - \vec{r}$
			
			$\vec{r} - \vec{r_1} = \lambda (\vec{r_2} - \vec{r}) \Rightarrow \vec{r} = \frac{\vec{r_1}+\lambda \vec{r_2}}{1 + \lambda} ~~~ (\lambda \neq 1)$
		
			В координатной форме получим:
			
			$x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}; y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}; z = \frac{z_1 + \lambda z_2}{1 + \lambda}$
			
	\section{Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов}
		\begin{figure}[H]
			\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina2}}
		\end{figure}
		
		Пусть $\vec{a}$ и $\vec{b}$ - ненулевые векторы.Приведем их к одному началу - точка О. Пусть $\vec{a} = \vec{OA}; \vec{b} = \vec{OB}$
		
		\textbf{Определение}: Углом $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется наименьший угол AOB
		
		\textbf{Замечание}: $0 \leq \alpha \leq \pi$
		
		\textbf{Определение}: Скалярным произведением векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число, равное:
		\[(\vec{a}, \vec{b}) = |\vec{a}||\vec{b}|cos\alpha\]
		
		пр$_{\vec{b}}\vec{a} = |\vec{a}|cos\alpha \Rightarrow$ пр$_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{(\vec{a}, \vec{b})}{|\vec{b}|}$
		
		\subsection{Свойства скалярного произведения}
			\begin{enumerate}
				\item $(\vec{a},\vec{b}) = (\vec{b}, \vec{a})$
				\item $(\vec{a} + \vec{b}, \vec{c}) = (\vec{a}, \vec{c}) + (\vec{b}, \vec{c})$
				\item $(\lambda \vec{a}, \vec{b}) = 0 \Leftarrow \vec{a} | \vec{b}$, если $\vec{a} \neq 0, \vec{b} \neq 0$
				\item $(\vec{a}, \vec{a}) = |\vec{a}|^2 \Rightarrow |\vec{a}| = \sqrt{(\vec{a}, \vec{a})}$
			\end{enumerate}
		
		\textbf{Доказательство 2}: 
		
		$(\vec{a} + \vec{b}, \vec{c}) = |\vec{c}|$пр$_{\vec{c}}(\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{c}(pr_{\vec{c}}\vec{a} + pr_{\vec{c}}\vec{b}) = |\vec{c}|pr_{\vec{c}}\vec{a} + |\vec{c}|pr_{\vec{c}}\vec{b} = (\vec{a}, \vec{c}) + (\vec{b}, \vec{c})$
		
		\subsection{Координатная запись скалярного произведения в данной декартовой системе координат}
			Пусть $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$
	
			$(\vec{a}, \vec{b}) = (x_1\vec{i} + y_1\vec{j} + z_1\vec{k}, x_2\vec{i} + y_2\vec{j} + z_2\vec{k}) =\newline (x_1\vec{i},x_2\vec{i}) + (x_1\vec{i}, y_2\vec{j}) + (x_1\vec{i}, z_2\vec{k}) + (y_1\vec{j}, x_2\vec{i}) + (y_1\vec{j}, y_2\vec{j}) + (y_1\vec{j}, z_2\vec{k}) + (z_1\vec{k}, x_2\vec{i}) + (z_1\vec{k}, y_2\vec{j}) + (z_1\vec{k}, z_2\vec{k}) =\newline x_1x_2(\vec{i},\vec{i}) + x_1y_2(\vec{i}, \vec{j}) + x_1z_2(\vec{i}, \vec{k}) + y_1x_2(\vec{j},\vec{i}) + y_1y_2(\vec{j}, \vec{j}) + y_1z_2(\vec{j}, \vec{k}) + z_1x_2(\vec{k}, \vec{i}) + z_1y_2(\vec{k}, \vec{j}) + z_1z_2(\vec{k}, \vec{k}) = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$
			
			\[(\vec{a}, \vec{b}) = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\]
			
		\subsection{Угол между векторами}
			Пусть $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$
			
			$cos\alpha = \frac{(\vec{a}, \vec{b})}{|\vec{a}||\vec{b}|}$, где $\alpha$ угол между векторами
			
			$\Rightarrow cos\alpha = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}\sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$
			
		\subsection{Векторное произведение векторов}
			\textbf{Определение}: Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
			
			\textbf{Определение}: Тройку векторов, приведенных к одному началу, называют упорядоченной, если известно, какой из этих векторов считается первым, какой вторым и какой третьим
			
			\textbf{Определение}: Упорядоченная тройка некомалнархых векторов называется прроаво, если из конеца третьего вектора кратчайший поворот от 1-го вектора ко 2-ому виден против часовой стрелки 
			
			\begin{figure}[H]
				\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina3}}
			\end{figure}
			
			\textbf{Определение}: Векторным произведением векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называетвся вектор $\vec{c} = [\vec{a}, \vec{b}]$, удовлетворяющий следующим условиям: 
			
			\begin{enumerate}
				\item $\vec{c} \perp \vec{a} \perp \vec{b}$
				\item $|\vec{c}| = |\vec{a}||\vec{b}|sin\alpha$, где $\alpha$ - угол между векторами
				\item $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ - правая тройка
			\end{enumerate}
		
		\subsection{Свойство векторного произведение}
			\begin{enumerate}
				\item $[\vec{a}, \vec{b}] = -[\vec{b}, \vec{a}]$
				\item $[\vec{a} + \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{a}, \vec{c}] + [\vec{b},\vec{c}]$
				\item $[\lambda \vec{a}, \vec{b}] = \lambda[\vec{a}, \vec{b}]$
				\item $[\vec{a}, \vec{b}] = 0 \Leftrightarrow \vec{a} || \vec{b}$
				\item Если $\vec{c} = [\vec{a},\vec{b}]$, то $|\vec{c}| = S$, где S - площадь параллелограмма построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$
			\end{enumerate}
		
			\begin{figure}[H]
				\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina4}}
			\end{figure}
			
		\subsection{Координатаня запсь векторнрого произведения в данной декартовой системы координат}
			Пусть $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$
			
			$[\vec{a}, \vec{b}] = [x_1\vec{i} + y_1\vec{j} + z_1\vec{k}, x_2\vec{i} + y_2\vec{j} + z_2\vec{k}] = [x_1\vec{i}, x_2\vec{i}] + [x_1\vec{i}, y_2\vec{j}] + [x_1\vec{i},z_2\vec{k}] + \dots = x_1x_2[\vec{i},\vec{i}] + x_1y_2[\vec{i}, \vec{j}] + x_1z_2[\vec{i}, \vec{k}] + \dots = x_1y_2\vec{k} - x_1z_2\vec{j} + \dots = (y_1z_2 - z_1y_2)\vec{i} - (x_1z_2 - x_2z_1)\vec{j} + (x_1y_2 - y_1x_2)\vec{k} = $
			\begin{equation*}
				\begin{vmatrix}
					\vec{i} & \vec{j}&\vec{k}\\
					x_1&y_1&z_1\\
					x_2&y_2&z_2
				\end{vmatrix}
			\end{equation*}
		
			\begin{equation*}
				[\vec{a}, \vec{b}] = 
				\begin{vmatrix}
					\vec{i} & \vec{j}&\vec{k}\\
					x_1&y_1&z_1\\
					x_2&y_2&z_2
				\end{vmatrix}
			\end{equation*}
	\section{Смешанное произведение векторов}
		\textbf{Определение}: Смешанным произведением трех векторов $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{c}$ называется число, равное
		\[(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = ([\vec{a}, \vec{b}], \vec{c})\]
		
		\textbf{Теорема}: Пусть V - объем параллелепипеда, простоенного на векторах $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$
		
		Тогда:
		\begin{equation*}
			(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) =
			\begin{cases}
				+V,~~~ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) - right triplet\\
				-V,~~~ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) - left triplet\\
				0,~~~ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) - complanarny
			\end{cases}
		\end{equation*}
	
		\textbf{Доказательство}: 
		
		\begin{figure}[H]
			\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina6}}
		\end{figure}
		
		$(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = ([\vec{a}, \vec{b}], \vec{c}) = |\vec{c}||[\vec{a}, \vec{b}]|cos\phi = |\vec{c}|cos\phi S_{base} = \pm h \cdot S_{base} = \pm V$
		
		Если $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ - правая тройка $\Rightarrow$ $\phi$ - острый угол $\Rightarrow$ cos$\phi$ > 0 $\Rightarrow$ ($\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$) = +V
		
		Если $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ - левая тройка $\Rightarrow$ $\phi$ - тупой угол $\Rightarrow$ cos$\phi$ < 0 $\Rightarrow$ ($\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$) = -V
		
		Если $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ - компланарны $\Rightarrow$ [$\vec{a}$, $\vec{b}$] $\perp$ $\vec{c}$ $\Rightarrow$ ([$\vec{a}$, $\vec{b}$], $\vec{c}$) $\Rightarrow$ ($\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$) = 0
		
		\section{Координатная запсь смешанног произведения в данной декартовой системе координат}
			Пусть $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1), ~~~ \vec{b} = (x_2, y_2, z_2), ~~~ \vec{c} = (x_3, y_3, z_3)$
			
			\begin{equation*}
				[\vec{a}, \vec{b}] = 
				\begin{vmatrix}
					\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
					x_1&y_1&z_1\\
					x_2&y_2&z_2
				\end{vmatrix}
				=
				\begin{vmatrix}
					y_1&z_1\\
					y_2&z_2
				\end{vmatrix}
				\vec{i} -
				\begin{vmatrix}
					x_1&z_1\\
					x_2&z_2
				\end{vmatrix}
				\vec{j} +
				\begin{vmatrix}
					x_1&y_1\\
					x_2&y_2
				\end{vmatrix}
				\vec{k}
			\end{equation*}
		
			$(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = ([\vec{a}, \vec{b}], \vec{c}) =$
			
			\begin{equation*}
				\begin{vmatrix}
					y_1&z_1\\
					y_2&z_2
				\end{vmatrix}
				x_3 -
				\begin{vmatrix}
					x_1&z_1\\
					x_2&z_2
				\end{vmatrix}
				y_3 +
				\begin{vmatrix}
					x_1&y_1\\
					x_2&y_2
				\end{vmatrix}
				z_3 = 
			\end{equation*}
		
			\begin{equation*}
				\begin{vmatrix}
					x_3&y_3&z_3\\
					x_1&y_1&z_1\\
					x_2&y_2&z_2
				\end{vmatrix}
				=
				\begin{vmatrix}
					x_1&y_1&z_1\\
					x_2&y_2&z_2\\
					x_3&y_3&z_3\\
				\end{vmatrix}
			\end{equation*}
		
			Основаное свойство смешанного произведения состоит в том, что циклическая пересановка векторов не меняет его величины
			\[(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = (\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}) = (\vec{c}, \vec{a}, \vec{b})\]
			
			В остальных случаях знак меняется на противоположный
			
		\section{Линии на плоскости. Уравнения прямой на плоскости. Кривые 2-го порядка}
			Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.
			
			\begin{figure}[H]
				\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina7}}
			\end{figure}
			
			Определение: Уравнение $\Phi$(x, y) = 0 называется уравнением линии L, есил этому уравненнию удовлетворяют координаты любой точки этой линии, и не удовлетворяют координаты точке, не принадлежащих линии L.
			
			\subsection{Уравнение прямой на плоскости}
				Теорема: Любая прямая на плоскости задается уравнением вида Ax + By + C = 0 ~~~~~(9.1)
				
				\begin{figure}[H]
					\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina8}}
				\end{figure}
				
				И обратно: всякое уравнение вида (9.1) определяет на плоскости прямоую
				
				Доказательство: 
				
				$\vec{n}$ - нормальный вектор
				
				Возьмем произвольную точку M(x, y) $\in$ L.
				
				т. М(x, y) $\in$ L $\Leftrightarrow$ $\vec{n}$ $\perp$ $\vec{M_0M}$ $\Leftrightarrow$ ($\vec{n}$, $\vec{M_0M}$) = 0 $\Leftrightarrow$ $A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$
				
				Раскроем скобки: $Ax - Ax_0 + By - By_0 = [-Ax_0 - By_0 = C] = 0 \Rightarrow Ax + By + C = 0$
				
				Проводя обратные рассуждения, получим, что уравнение вида (9.1) опрделяет на плоскости прямую.
				
				(9.2) - Уравнение прямой, проходящей черзе точку $M_0(x_0,y_0)$ перепендикулярно нормальному вектору $\vec{n}$ = (A, B)
				
				(9.1) - общее уравнение прямой
				
				Пусть в (9.1) $B \neq 0 \Rightarrow By = -Ax - C \Rightarrow y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$
				
				ОБозначим $k = -\frac{A}{B}; ~~~b = -\frac{C}{B}$, получим уравнение.
				\[y = kx + b\]
				
				(9.3) - уравнение прямой с угловым коэффициентом
				
				Нутрудно показать, что k = tg$\alpha$; b = OB
				
				\begin{figure}[H]
					\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina9}}
				\end{figure}
				
				Пусть в (9.1) B = 0 $\Rightarrow$ Ax + C = 0 $\Rightarrow$ x = -$\frac{C}{A}$
				
				Обозначим a = -$\frac{C}{A}$, получим уравнение
				\[x = a~~~~~~~~~~(9.4)\]
				
				(9.4) - Уравнение вертикальной прямой
				
				\begin{figure}[H]
					\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina10}}
				\end{figure}
				
				(9.1) можно записать в виде: $\frac{xA}{-C} + \frac{yB}{-C} = 1$
				
				Обозначим a = -$\frac{C}{A}$; b = -$\frac{C}{B}$ $\Rightarrow$ $\frac{x}{a}$ + $\frac{y}{b}$ = 1~~~~~~(9.5)
				
				(9.5) - уравнение прямой в отрезках
				
				\begin{figure}[H]
					\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina11}}
				\end{figure}
				
			\subsection{Параметрическое уравнение прямой}
			
				\begin{figure}[H]
					\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina12}}
				\end{figure}
			
				$\vec{q} = (l, m)$ - направляющий вектор
				
				$\vec{M_0M} = \vec{r} - \vec{r_0} = t * \vec{q} \Rightarrow \vec{r} = \vec{r_0} + t*\vec{q}$
				
				или в координатной форме
				
				\begin{equation*}
					\begin{cases}
						x = x_0 + t*l\\
						y = y_0 + t*m
					\end{cases}
				\end{equation*}
			
				(9.6) и (9.7) - параметрические уравнения прямой.
				
				Из (9.7) $\Rightarrow$ $\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m}$~~~~(9.8)
				
				(9.8) - каноническое уравнение прямой, проходящей через т. $M_0(x_0, y_0)$ с направляющимм вектором $\vec{q} = (l, m)$
				
			\subsection{Расстояние от точки до прямой}
				
				\begin{figure}[H]
					\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina13}}
				\end{figure}
			
				$\vec{MM_0} = (x_0 - x; y_0 - y)$
				
				d = пр $_{\vec{n}}\vec{MM_0} = |\frac{(\vec{n}, \vec{MM_0})}{|\vec{n}|}| = |\frac{A(x_0 - x) + B(y_0 - y)}{|\vec{n}|}| = |\frac{Ax_0 + By_0 + (-Ax -By)}{|\vec{n}|}| = |\frac{Ax_0 + By_0 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}|$
				
				$d = |\frac{Ax_0 + By_0 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}|~~~~~(9.9)$
		\section{Направляющие косинусы}
			Обозначим $\alpha$ = ($\widehat{\vec{r}, \vec{i}}$); $\beta$ = ($\widehat{\vec{r},\vec{j}}$); $\gamma$ = ($\widehat{\vec{r}, \vec{k}}$) 
			
			cos$\alpha$, cos$\beta$ и cos$\gamma$ - направляющие косинусы вектора $\vec{r}$
			
			Тк x = пр$_{\vec{i}}\vec{r}$; y = пр$_{\vec{j}}\vec{r}$; z = пр$_{\vec{k}}\vec{r}$
			
			x = |$\vec{r}$|cos$\alpha$; y = |$\vec{r}$|cos$\beta$; z = |$\vec{r}$|cos$\gamma$
			
			\begin{figure}[H]
				\center{\includegraphics[scale=0.6]{huina14}}
			\end{figure}
			
		\subsection{Нормальное уравнение прямой}
			$\vec{e} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$; где $\vec{e} = (cos\alpha, cos\beta)$
			
			$\vec{OM} = (x, y)$. Обозначим p = |$\vec{n}$|
			
			p = пр$_{\vec{e}}\vec{OM} = \frac{(\vec{OM}, \vec{e})}{|\vec{e}|} = xcos\alpha + ycos\beta \Rightarrow xcos\alpha + ycos\beta - p = 0$~~~~~~(9.11)
			
			\begin{figure}[H]
				\center{\includegraphics[scale=0.6]{huina15}}
			\end{figure}
			(9.11) - нормальное уравнение прямой, где cos$\alpha$ и cos$\beta$ - направляющие косинусы нормального вектора, направленного из начала координат в сторону прямой, а p - расстояние от начала координат до прямой.
			
		\subsection{Угол между прямыми}
			$L_1:~~~~A_1x + B_1y + C_1 = 0;~~~~L_2:~~~~A_2x + B_2y + C_2 = 0$
			
			Обозначим $\alpha$ = ($\widehat{L_1,L_2}$)
			\[cos\alpha = |\frac{A_1A_2 + B_1B_2}{\sqrt{A^2_1 + B^2_1}*\sqrt{A^2_2 + B^2_2}}|\]
		\subsection{Кривые второго порядка}
			\textbf{Определение}: Окружность - это геометрическое место точке на плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.
			
			\begin{figure}[H]
				\center{\includegraphics[scale=0.6]{huina16}}
			\end{figure}
		
			$R = |\vec{MM_0}| = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \Rightarrow (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$ - уравнение окружности с центром в т $(x_0, y_0)$ и радиусом R
			
			$x^2 + y^2 = R^2$ - уравнение окружности с центром в начале координат(каноническое уравнение)
			
			\textbf{Определение}: Эллипсом называется геометрическое место точке на плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
			
			$|\vec{F_1M}| + |\vec{F_2M}| = 2a$, где $\vec{F_1M}$ и $\vec{F_2M}$ - фокальные радиусы.
			
			$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a$~~~~~~~(9.15)
			
			Полагая $b^2 = a^2 - c^2$ из (9.15) нетрудно получить уравнение 
			\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1~~~~~~~~~~(9.16)\]
			
			(9.16) - каноническое уравнение эллипса
			
			$|\vec{F_1F_2}|$ - фокусное расстояние; a и b - большая и малая полуоси эллипса.
			
			$\varepsilon = \frac{c}{a}$ - эксцентриситет; 0 < $\varepsilon$ < 1
			
			$\varepsilon$ - мера "сплюснутости"; $\varepsilon$ = 0 - окружность
			
			\begin{figure}[H]
				\center{\includegraphics[scale=0.5]{huina17}}
			\end{figure}
		
			\textbf{Определение}: Гипербола - это геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная   
			
			$||\vec{F_1M}| - |\vec{F_2M}|| = 2a$
			
			$|\sqrt{(x + c)^2 + y^2} - \sqrt{(x - c)^2 + y^2}| = 2a$
			
			Путем эквивалентных преобразований получим уравнение $\frac{x^2}{a} - \frac{y^2}{b^2} = 1$~~~~(9.18)
			
			(9.18) - каноническое уравнение гиперболы 
			
			a и b - действительная и мнимая полуоси гиперболы.
			
			$\varepsilon = \frac{c}{a}$ - эксцентриситет, $x = \pm\frac{a}{\varepsilon}$ - директрисы гиперболы и эллипса; прямые
			
			$y = \pm\frac{b}{a}x$ - асимптоты гиперболы.
			
			\begin{figure}[H]
				\center{\includegraphics[scale=0.6]{huina18}}
			\end{figure}
		
			\textbf{Определение}: Парабола - это геометрическое место точке на плоскости, для которых расстояние до данной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой прямой, называемой директрисой.
			
			p - параметр параболы (p > 0)
			
			KM = FMx + $\frac{p}{2}$ = $\sqrt{(x - \frac{p}{2})^2 + y^2}$
			
			Путем эквивалентных преобразований получим уравнение $y^2 = 2px$ - каноническое уравнение параболы
			
			\begin{figure}[H]
				\center{\includegraphics[scale=0.6]{huina19}}
			\end{figure}
		\subsection{Оптические свойства кривых второго порядка}
			\begin{figure}[H]
				\center{\includegraphics[scale=0.5]{huina20}}
			\end{figure}
		\subsection{Уравнение плоскости в пространстве}
			\textbf{Определение}: уравнение Ф(x,y,z) = 0 называется уравнением поверхности S, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки этой поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих поверхности S
			
			\begin{figure}[H]
				\center{\includegraphics[scale=0.5]{huina21}}
			\end{figure}
		\subsection{Уравнение плоскости в пространстве}
			\textbf{Теорема}: Любая плоскость в пространстве задается уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0
			
			И обратно: всякое уравнение этого вида определяет в пространстве плоскость 
	\section{Уравнение плоскости в пространстве}
		\textbf{Теорема}: Любая плоскость в пространстве задается уравнением вида $Ax + By + Cz + D = 0$
		
		И обратно: всякое уравнение вида (10.1) определяет в пространстве плоскость
		
		Доказательство:
		
		\begin{figure}[H]
			\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina22}}
		\end{figure}
	
		$\vec{n} \perp Q, ~~~ \vec{n}$ - нормальный вектор
		
		Возьмем произвольную точку $M(x,y,z) \in Q$
		
		т $M(x,y,z) \in Q \Leftrightarrow \vec{n} \perp \vec{MM_0} \Leftrightarrow (\vec{n}, \vec{M_0M}) = 0 \Leftrightarrow A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0) = 0$~~~~(10.2)	
		
		Раскроем скобки: $Ax - Ax_0+By - By_0Cz-Cz_0 = [-Ax_0 - By_0 - Cz_0 = D] = 0 \Rightarrow Ax + By + Cz + D = 0$
		
		Проводя обратные рассуждения, получим, что уравнение вида (10.1) определяет в пространстве плоскость.
		
		(10.1) - общее уравнение плоскости
		
		(10.2) - уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ перпендикулярно вектору $\vec{n}(A,B,C)$
		
		\begin{figure}[H]
			\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina23}}
		\end{figure}
		
		Из (10.1) $\Rightarrow$ $\frac{x}{-D/A} + \frac{y}{-D/B} + \frac{z}{-D/C} = 1$
		
		ПУсть $a = -\frac{D}{A};~~~b = -\frac{D}{B};~~~c = -\frac{D}{C}$, получим уравнение:
		\[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1~~~~~~~(10.3)\]
		
		(10.3) - уравнение плоскости в отрезках
		
		\section{Уравнение плоскости, проходящей через три точки}
		
		\begin{figure}[H]
			\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina24}}
		\end{figure}
	
		\begin{equation*}
			\begin{vmatrix}
				x-x_1&y-y_1&z-z_1\\
				x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\
				x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1
			\end{vmatrix}
			= 0~~~~~~~~(10.4)
		\end{equation*}
		
		(10.4) - уравнение плоскости ABC
		
		
		\section{Нормальное уравнение плоскости}
		xcos$\alpha$ + ycos$\beta$ + zcos$\gamma$ - p = 0~~~~~~ (1.5)
		
		(10.5) - нормальное уравнение плоскости, где cos$\alpha$, cos$\beta$, cos$\gamma$ - нарпавляющие косинусы нормлаьрного вектора, нарпвелнного из начала координат в сторонку плоскости, а p - рассстояние от рначала координат до плоскости.
		
		\section{Расстояние от точки до плоскости}
		
		\begin{figure}[H]
			\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina25}}
		\end{figure}
	
		Q: Ax + By + Cz + D = 0
		
		d = $|\frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}|$
		
		\section{Угол между плоскостями}
		$Q_1: A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$
		
		$Q_2: A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$
		
		$\alpha = (\widehat{Q_1,Q_2})$
		
		$\alpha = arccos|\frac{A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2}\cdot\sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$
		
		$A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$ - условие перпендикулярности
		
		$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$ - условие параллельности
		
		\section{Уравнение линии в пространстве}
		
		\begin{figure}[H]
			\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina26}}
		\end{figure}
	
		\begin{equation*}
			\begin{cases}
				x = x(t)\\
				y = y(t)~~~~t \in [\alpha, \beta]~~~~(10.6)\\
				z = z(t)
			\end{cases}
		\end{equation*}
		
		(10.6) - параметрическое уравнение линии в пространстве.
		
		$\vec{r}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}$ или $\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$ ~~~~(10.7)
		
		(10.7) - векторное уравнение линии L
		
		Функция $\vec{r}(t)$ называется вектор-функцией скалярного аргумента t.
		
		\section{Уравнение прямой в пространстве}
		
		\begin{figure}[H]
			\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina27}}
		\end{figure}
		
		$\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}~~~~~~(10.8)$
		
		(10.8) - каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ параллельное направляющему вектору $\vec{q}(l,m,n)$
		
		\begin{equation*}
			\begin{cases}
				x = x_0 + lt\\
				y = y_0 + mt\\
				z = z_0 + nt
			\end{cases}
			(10.9)
		\end{equation*}
		(10.9) - параметрическое уравнение прямой 
		
		\begin{equation*}
			\begin{cases}
				A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0\\
				A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0
			\end{cases}
			(10.10)
		\end{equation*}
		
		(10.10) - уравнение прямой, как результат пересечения двух плоскостей
		
		\section{Взаимное расположение двух прямых в пространстве}
		$L_1: \frac{x - x_1}{l_1} = \frac{y - y_1}{m_1} = \frac{z - z_1}{n_1}$
		
		$L_2: \frac{x - x_2}{l_2} = \frac{y - y_2}{m_2} = \frac{z - z_2}{n_2}$
		
		\begin{enumerate}
			\item $L_1 \parallel L_2 \Leftrightarrow \frac{l_1}{l_2} - \frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2}$
			\item $L_1 \perp L_2 \Leftrightarrow l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = 0$
			\item $\alpha = (\widehat{L_1,L_2})~~~~\alpha = arccos|\frac{l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2}{\sqrt{t_1^2 + m_1^2 + n_1^2}\cdot\sqrt{t_2^2 + m_2^2 + n_2^2}}|$
			\item Если $L_1 \nparallel L_2$, то $L_1$ и $L_2$ - пересекаются $\Leftrightarrow$
			\begin{equation*}
				\Delta = 
				\begin{vmatrix}
					x_2 - x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\
					l_1&m_1&n_1\\
					l_2&m_2&n_2
				\end{vmatrix}
				= 0
			\end{equation*}
			\item $L_1$ и $L_2$ - скрещиваются $\Leftrightarrow$ $\Delta$ $\neq$ 0
		\end{enumerate}
		
		\section{Взаимное расположение прямой и плоскости}
		$Q: Ax + By + Cz + D = 0$~~~~$L:\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z -z_0}{n}$
		
		$L \parallel Q \Leftrightarrow Al + Bm + Cn = 0$~~~~$\vec{q} \perp \vec{n}$
		
		$L \perp Q \Leftrightarrow \frac{A}{l} = \frac{B}{m} = \frac{C}{n}$~~~~$\vec{q} \parallel \vec{n}$
		

		
		$\phi = (\widehat{\vec{n}, \vec{q}})$
		
		$\alpha = (\widehat{\vec{L}, \vec{Q}})$
		
		$cos\phi = |\frac{(\vec{n}, \vec{q})}{|\vec{n}||\vec{q}|} = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin\alpha \Rightarrow \alpha = arcsin|\frac{Al + Bm + Cn}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}\cdot\sqrt{l^2 + m^2 + n^2}}|$
		
		Пример: Составить уравнение плоскости ABC, если A(1;1;-1); B(2;0;1); C(-1;2;3)
		
		Решение: $\vec{AB}{1;-1;2}$ $\vec{AC}{-2;1;4}$
		
		\begin{equation*}
			|\vec{AB}, \vec{AC}| = 
			\begin{vmatrix}
				\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
				1&-1&2\\
				-2&1&4
			\end{vmatrix}
			= \vec{i}
			\begin{vmatrix}
				-1&2\\
				1&4
			\end{vmatrix}
			- \vec{j}
			\begin{vmatrix}
				1 & 2\\
				-2& 4
			\end{vmatrix}
			+\vec{k}
			\begin{vmatrix}
				1&-1\\
				-2&1
			\end{vmatrix}
			=
		\end{equation*}
		
		= $-6\vec{i} - 8\vec{j} - \vec{k} \Rightarrow \vec{n}(6;8;1)$
		
		$6(x-1) + (8y - 1) + 1(z + 1) = 6x - 6 + 8y - 8 +z + 1 = 0$
		
		$6x + 8y+z - 14 = 0$ - уравнение плоскости ABC
		
\section{Обзор поверхностей второго порядка}
	\textbf{Определение}: Функция $\Phi$(x,y,z) называется алгебраическим многочленом степени n, если $\Phi$(x, y, z) есть сумма конечного числа членов вида: $A \cdot x^p \cdot y^q \cdot z^r$, где p + q + r $\leq$ n и существует по крайней мере одно слагаемое, у которого p + q + r = n
	
	\textbf{Определение}: Поверхность, определяемая в некоторой декартовой системе координат алгебраическим многочленом n-ой степени, называется алгебраической поверхностью n-ого порядка
	
	\textbf{Пример}: Ax + By + Cz + D = 0 - алгебраическая поверхность 1-го порядка
	
	$\Phi(x,y,z) = a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + a_{33}z^2 + 2a_{12}xy + 2a_{13}xz + 2a_{23}yz + 2a_1x + 2a_2y + 2a_3z + a_0 = 0$ - алгебраическая поверхность 2-го порядка
	
	\subsection{Эллипсоид}
		$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$
		
		\begin{figure}[H]
			\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina28}}
		\end{figure}
	
	\subsection{Однополостный гиперболоид}
		$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$
		
		\begin{figure}[H]
			\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina29}}
		\end{figure}
	
	\subsection{Двуполостный гиперболоид}
		$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1$
		
		\begin{figure}[H]
			\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina30}}
		\end{figure}
	
	\subsection{Конус}
		$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$
		
		\begin{figure}[H]
			\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina31}}
		\end{figure}
	
	\subsection{Эллиптический параболоид}
		$\frac{x^2}{p} + \frac{y^2}{q} = 2z$, p > 0, q > 0
		
		\begin{figure}[H]
			\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina32}}
		\end{figure}
	
	\subsection{Гиперболический параболоид}
		$\frac{x^2}{p} - \frac{y^2}{q} = 2z$, p > 0, q > 0
		
		\begin{figure}[H]
			\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina33}}
		\end{figure}
	
	\subsection{Эллиптический цилиндр}
		$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
		
		\begin{figure}[H]
			\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina34}}
		\end{figure}
	
	\subsection{Гиперболический цилиндр}
		$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
		
		\begin{figure}[H]
			\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina35}}
		\end{figure}
	
	\subsection{Параболический цилиндр}
		$y^2 = 2px$
		
		\begin{figure}[H]
			\center{\includegraphics[scale=0.3]{huina36}}
		\end{figure}
	
	\textbf{Определение}: Прямолинейной образующей поверхности называется прямая линия, целиком лежащая на данной поверхности.
	
	\textbf{Замечание}: Поверхности под номерами 1, 3, 5 (Эллипсоид, Двуполостный гиперболоид, Эллиптический параболоид) прямолинейных образующих не имеют, а другие имеют.
\end{document}
		
		